退役蒟蒻写笔记总结ing~

一、单杆问题

Ⅰ 发电式单杆

①电路特点：

导体棒相当于电源，当速度为$v$时，电动势$E=Blv$

②安培力特点：

安培力为阻力，并随速度增大而增大（正比）
$F_B$=$BIl$=$B$$\frac{Blv}{R+r}$ = $\frac{B^2{l}^{2}v}{R+r}$ ∝ $v$

③加速度特点

加速度随速度增大而减小
$a$=$\frac{F-F_B-umg}{m}$=$\frac{F}{m}$-$\frac{B^2{l}^{2}v}{m(R+r)}$

④运动特点：加速度减小的加速运动

⑤最终特征：匀速运动

⑥两个极值

$(1)v=0$时，有最大加速度：$a_m$=$fracF-umgm$
$(2)a=0$时，有最大速度：$a$=$\frac{(F-FB-umg)(R+r)}{B^2{l}^2}$

⑦稳定后的能量转化规律（功率关系）

$F{v}_m$=$\frac{(Bl{v}_m{)}^2}{R+r}$$+umg{v}_m$

⑧两个规律

$(1)$动量定理：$Ft-Blq-umgt=m{v}_m-0$
$(2)$能量守恒：$Fs=Q_J+umgS+\frac{1}{2}m{v}_m^2$
注意应用：$q=n\frac{\Delta \Phi }{R+r}=$$\frac{Bl\cdot \Delta s}{R+r}$

Ⅱ 电动式单杆

①电路特点

导体为电动边，运动后产生反电动势（等效于电动机）

②安培力的特点

安培力为运动动力，并随速度减小而减小

$F_B=BIl=B\frac{E-E_{反}}{R+r}l=B\frac{E-Blv}{R+r}L$

③加速度特点

加速度随速度增大而减小
$a=\frac{F_B-umg}{m}=B\frac{E-Blv}{m(R+r)}l-ug$

④运动特点：a减小的加速运动

⑤最终特征：匀速运动

⑥两个极值

$(1)$最大加速度：$v=0$时，$E_{反}=0$，电流、加速度最大
$I_m=\frac{E}{R+r}，F_m=B{I}_m，a_m=\frac{F_m-umg}{m}$
$(2)$最大速度：稳定时，速度最大，电流最小
$I$
$v_m=\frac{E}{Bl}-\frac{umg(R+r)}{B^2{l}^2}$

⑦三个规律

$(1)$动量定理：$BLq-umgt=m{v}_m-0$
$(2)$能量守恒：$qE=Q_J+umgS+\frac{1}{2}m{v}_m^2$
$(3)$瞬时加速度：$a=\frac{F_B-umg}{m}=B\frac{(E-Blv)}{m(R+r)l-ug}$

Ⅲ 电容放电单杆

①电路特点

电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动。

②电流的特点

电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时产生阻碍放电的反电动势，导致电流减小直到0，此时$U_c=Blv$

③运动特点

$a$减小的加速运动，最终做匀速运动

④最终匀速运动，但电容器带电量不为0

⑤最大速度$v_m$

电容器充电量：$Q_0=CE$
放电结束时电量：$Q=CU=CBll{v}_m$
电容器放电电量：$\Delta Q=Q_0-Q=C(E-Bl{v}_m)$
对杆用动量定理L：$m{v}_m=BIl\cdot \Delta t=Bl\Delta Q$
$v_m=\frac{BlCE}{m+B^2{l}^{2}C}$

Ⅳ 电容无外力充电式：

①电路特点

导体棒相当于电源，电容器被充电

②电流的特点

导体棒相当于电源；$F_{安}$为阻力，棒减速，E减小
$I=\frac{Blv-U_c}{R}，I$逐渐减小

③运动特点

$a$减小的减速运动，最终做匀速运动

④最终匀速运动，但此时电容器带电量不为0

⑤最终速度

电容器充电量：$q=CU=CBlv$
用动量定理得：$m{v}_0-mv=BIL\cdot \Delta t=Blq$
$v=\frac{m{v}_0}{m+B^2{l}^{2}C}$

Ⅴ 电容有外力充电式

①电路特点

导体发电，电容器被充电

②运动性质：匀加速直线运动

证明：$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{C\cdot \Delta E}{\Delta t}=\frac{CBl\cdot \Delta v}{\Delta t}=CBla$
安培力：$F_A=BIL\cdot a=\frac{F-F_A}{a}$
$a=\frac{F}{m+B^2{l}^{2}c}$ （恒定）

③四个结论

$1、$导体棒做初速度为0的匀加速运动
$2、$回路中的电流恒定
$3、$导体棒受安培力恒定
$4、$能量转化：电容器克服安培力——>电容器储存电能

二、双杆问题

Ⅰ 无外力等距双棒

①电路特点

棒2相当于电源；棒1受安培力而加速运动，运动后产生反电动势.

②电流特点

$I=\frac{Bl(v_2-v_1)}{R_1+R_2}$
随着棒2的减速、棒1的加速，两帮的相对速度$v_2-v_1$变小，回路中电流也变小。
$v_1=0$时：电流最大，$I_m=\frac{Bl{v}_0}{R_1+R_2}$
$v_2=v_1$时：电流$I$=0

③两棒的运动情况

安培力：$F_B=BIl=\frac{B^2{l}^2(v2-v1)}{R1+R2}$
两棒的相对速度变小，感应电流变小，安培力变小
棒1做加速度变小的加速运动
棒2做加速度变小的减速运动
最终两棒具有相同速度

④两个规律

$(1)$系统动量守恒：两棒受到的安培力大小相等方向相反，系统合外力为零
因此：$m_2{v}_0=(m_1+m_2)v_{共}$
$(2)$系统能量守恒：系统机械能的减小量=内能增加量
因此：$\frac{1}{2}{m}_2{v}_0^2=\frac{1}{2}(m1+m2)v_{共}^2+Q$
$\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{R_1}{R_2}$

⑤变式

改变初速度提供方式（高处滑下），改变磁场方向，两棒都带有初速度
注意：若两棒位于不同磁场中，动量守恒不再成立，但仍有能量守恒

Ⅱ 无外力不等距双杆

1.电路特点

棒1相当于电源；棒2受安培力而起动，运动后产生反电动势

2.电流特点

$I=\frac{B{l}_1{v}_1-B{l}_2{v}_2}{R_1+R_2}$
随着棒1的减速，棒2的加速，回路中电流变小
最终当$B{l}_1{v}_1=B{l}_2{v}_2$时，电流为0，两棒都做匀速运动

3.两帮的运动情况

棒1做加速度减小的减速运动，最终匀速；
棒2做加速度减小的加速运动，最终匀速；

4.最终特征

$B{l}_1{v}_1=B{l}_2{v}_2$，回路中电流为零

5.系统动量不守恒——两棒合外力不为0

6.两杆最终速度

取向右为正，由动量定理得
对棒1有：$-BI{L}_{1}t=m_1{v}_1-m_2{v}_2$ ①
对棒2有：$BI{L}_{2}t=m_2{v}_2$ ②
①/②得：$\frac{L_1}{L_2}=\frac{m_1(v_0-v)}{m_2{v}_2}$ ③
匀速时无电流，总电动势为0，即$BL{v}_1=BL{v}_2$ ④
由③④联立得：
$v_1=\frac{m_1{l}_2^2}{m_1{l}_2^2+m_2{v}_2^2}v0$
$v_2=\frac{m_1{L}_1{L}_2}{m_2{L}_2^2+m_2{L}_1^2}v0$