支持向量机回归(SVR)是支持向量机在回归问题上的应用模型。支持向量机回归模型基于不同的损失函数产生了很多变种。本文仅介绍基于$ϵ$不敏感损失函数的SVR模型。

核心思想

找到一个分离超平面(超曲面)，使得期望风险最小。

$ϵ$-SVR

$ϵ$-损失函数

$ϵ$-损失函数，就是当误差小于$ϵ$时，该误差可忽略。反之，误差为$\xi -|ϵ|$。如图所示：

基于$ϵ$-损失函数的SVR称为$ϵ$-SVR。
优化问题如下：
回顾最小二乘法线性回归，目标是函数是样本点到直线的距离平方和加上正则化项。支持向量机本质与此相同，目标函数可表示为$$obj=C(\sum _{i=1}^l(\xi +{\xi }^{\ast })+\frac{1}{2C}{\omega }^T\omega ）$$即样本点到超曲面的距离($ϵ$是常数项，无需考虑)加上L2正则化项。

$\nu$-SVR

同$\nu$-支持向量机分类，另设一个参数$\nu$来调节支持向量的个数。
优化问题如下：
$C,\nu$是用户自由设置的，故直接将$C/l$称为$C$,$C\nu$称为$\nu$，则最优化函数等同于：$$\underset{w,b,{\xi }^{\ast },\xi ,ϵ}{\min }\frac{1}{2}{w}^{T}w+\nu ϵ+C\sum _{i=1}^l({\xi }_i+{\xi }_i^{\ast })$$

支持向量

直观地理解，支持向量就是对最终的w,b的计算起到作用的样本($\alpha >0$)。那么根据$ϵ$不敏感函数图像，不敏感区域形同一个“管道"。管道之内的样本对应$\alpha =0$，为非支持向量；位于“管壁”上的为边界支持向量，$0<\alpha <C$,为边界支持向量；位于“管道”之外的为非边界支持向量，$\alpha ⩾C$,为非边界支持向量(异常点检测时，常从非边界支持向量中挑选异常点)；

参考资料

LIBSVM指导文档(图片来源)

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